Algèbre linéaire Exemples

$y = 2 x$ , $y = 2 x$

Étape 1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y - 2 x = 0, y = 2 x$

Étape 2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y - 2 x = 0, y - 2 x = 0$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Réduisez en ligne pour éliminer l’une des variables.

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Étape 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 (- \frac{1}{2}) & 0 + 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x - \frac{y}{2} = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{2} = - x$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (- x)$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (- x)$

Étape 6.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (- x)$

Étape 6.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (- x)$

Étape 6.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 2 (- x)$

Étape 6.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 2 (- x)$

Étape 6.3.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 2 (- x)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = 2 x$

Étape 7

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(x, 2 x)$

Étape 8

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 x \end{array}]$